Cantareste din cat mai putine incercari

Mai intai sa fac 3 gramezi a cate 4 monede.

APOI SE INCEARCA IN 2 MODURI:

I.SA PRESUPUNEM CA MONEDA FALSA ESTE MAI GREA DECAT CELELALTE MONEDE:

(1)se cantaresc 2 dintre gramezi.Daca gramezile sunt egale inseamna ca gramada cu moneda falsa este cea necantarita,iar daca una dintre gramezile cantarite este mai grea decat cealalta in ea se afla moneda falsa.
(2)luam gramada in care se afla moneda falsa si mai facem inca 2 gramezi a cate 2 monede si le cantarim.Moneda falsa este in gramada mai grea.
(3)luam gramada de 2 monede in care se afla moneda falsa si cantarim intre ele cele 2 monede.Care moneda este mai grea aceea este cea falsa.

II.SA PRESUPUNEM CA MONEDA FALSA ESTE MAI USOARA DECAT CELELALTE MONEDE:

Procedam aproape la fel ca in primul mod:

(1)se cantaresc 2 dintre gramezi.Daca gramezile sunt egale inseamna ca gramada cu moneda falsa este cea necantarita,iar daca una dintre gramezile cantarite este mai usoara decat cealalta in ea se afla moneda falsa.
(2)luam gramada in care se afla moneda falsa si mai facem inca 2 gramezi a cate 2 monede si le cantarim.Moneda falsa este in gramada mai usoara.
(3)luam gramada de 2 monede in care se afla moneda falsa si cantarim intre ele cele 2 monede.Care moneda este mai usoara aceea este cea falsa.

7)Haidem sa punem problema altfel:

In maxim cate monezi pot sa caut moneda falsa daca pot sa fac n masuratori (cantariri) si stiu sau nu stiu daca acea moneda e mai usoara sau mai grea decat celelalte. S-o numim P(s/n,n), adica P(n,3) in cazul nostru.

Sa rezolvam P(s,1): raspunsul e 3 deoarece comparand 2 monezi pot obtine 3 raspunsuri, sau =. Daca obtin =, moneda cautata (falsa) e cea care nu a fost cantarita.

P(s,2)=9 : Impart in 3 gramezi in care cel putin 2 sa fie egale (pt. cantarire). Printr-o masuratoare aflu in care gramada este moneda. Pt. ca mai am dreptul la o masuratoare, in gramada descoperita sunt P(s,1) monezi, oricare gramada as obtine, astfel P(s,2)=3*P(s,1)

P(s,n) = 3*P(s,n-1) = 3^n = 3 la puterea n

Notez: g=grea, u=usoara, n=normala, f=falsa, gf=(grea si falsa)

P(n,1) nu are solutie decat daca ma poate imprumuta cineva cu o moneda normala si atunci P´(n,1)=1

P´(n,2)=4 daca as avea suficiente monezi normale pt. test : Am 2 grupe necunoscute si una normala, compar gr.1 cu cele normale si din (gr.1, gr.2) obtin (gf,n) si =(n,f) deci gr.1 are P(s,1)=3 si gr.2 are P´(n,1)=1. P(s,1)+P´(n,1)=3+1=4

P´(n,n)=P(s,n-1)+P´(n,n-1)=3^(n-1)+...+9+3+1=(3^n-1)/2

P(n,2)=3 : Am m1, m2 si m3. Compar m1 cu m2 si pot avea (g,u,n), =(n,n,f). Dc. < sau > compar g cu n si pot avea din (g,n,u): >(gf,n,n) sau =(n,n,uf). Dc. am = compar f cu n si (f,n,n) devine: (gf,n,n)

Se observa ca prima masuratoare are 3 variante dar a doua doar 2. Putem sa facem ceva ca sa aflam mai mult de la a doua masuratoare?

P(n,3)=9? : Impart in 3 gramezi si dupa ce repet rationamentul anterior pt.3 grupe in loc de 3 unitati obtin dupa 2 masuratori o grupa cu P(s,1) monezi deci P(n,3)=3*P(s,1)=9.

P(n,3)=10? : Am 3 grupe. Masor cele 3 grupe si dc. la prima am =(n,n,f), gr.3 are P´(n,2)=4 variante deci 2*P(s,1)+P´(n,2)=6+4=10. Deci am facut ca a doua intrebare dc. prima era = sa ne ofere 3 variante.

Cum facem cu a 2-a masuratoare dc. prima este < sau >? Primele 2 gr. au acelasi nr. de monezi altfel nu le putem compara. Le impartim si pe acestea in cate 2 dupa prima masuratoare si avem u1,u2,g1,g2,n1 unde ca nr. u1=g1=n1 si u2=g2. Compar g1+u2 cu n1+g2 : Dc. in greutate u2=g2=n comparatia ar fi intre g1 si n1 ca mai inainte cu variantele > si =. Varianta < apare doar daca u2(gf1+n2, n1+n2, n1), =(n1+n2, n1+n2, uf1) sau si = aflam g1=u1=P(s,1). Din < stim doar ca u2(n2,gf2) sau =(uf2,n2). Epuizand toate cantaririle => g2=u2=P(s,0)=1

Deci g=u=3+1 si din paragraful anterior a 3-a grupa are tot 4 monezi astfel P(n,3)=12

~~~~~~~~~~

Generalizand, dc. am 2 gramezi egale numeric, in care stiu ca una e mai grea decat cealalta si suficiente monezi martor (normale, pt. test), notez P½(n,n) nr maxim de monezi pe care le poate avea una din grupe ca dupa n masuratori sa stiu in care grupa e cea falsa si care e. Repetand algoritmul de mai sus obtin g1=u1=P(s,n-1) si g2=u2=P½(n,n-1), deci P½(n,n)=P(s,n-1)+P½(n,n-1)=3^(n-1)+...+9+3+1=(3^n-1)/2

P(n,n)=2*P½(n,n-1)+P´(n,n-1)=3*(3^(n-1)-1)/2

La intrebarea 6: umplerea recipientului e o operatiune, turnarea apei in alt recipient e alta operatiune etc. Deci sunt 8 operatiuni

4. Stiind greutatea diamantelor false se ia un diamant dintr-o gramada si daca acesta are 131 g atunci toate diamantele din acea gramada sunt false. Daca nu se merge la urmatoarea gramada. Deci numarul minim de cantariri este 1
5. Stiind greutatea monezilor false se ia o moneda dintr-o gramada si daca aceasta are 22 g atunci aceasta este moneda falsa. Deci numarul minim de cantariri este 1.
7. a) Se pun doua monezi pe balanta - cate o moneda pe fiecare platan. Daca moneda falsa este printre acestea atunci balanta se va dezechilibra.
b) Se ia una din cele doua monezi si se inlocuieste cu o moneda din celelalte 10 ramase (care ar fi veritabile, avand in vedere ca este doar una falsa). Daca moneda falsa este cea care a ramas pe platan atunci balanta se va dezechilibra din nou. In functie de inclinarea balantei putem determina daca e mai grea sau mai usoara decat moneda veritabila.
Deci, raspunsul corect este minim 2 cantariri.

Am sesizat o problema in solutia acetei probleme... la pasul al doilea dispar miraculos 2kg de nisip

1. Prima cantarire: pe un platan al balantei pui greutatea de 2kg, apoi pui nisip pe ambele platane, pana cand balanta ajunge sa fie in echilibru. Asta inseamna ca acum ai pe un platan 2kg (greutatea) + 6kg de NISIP, iar pe celalalt 8kg de nisip.

2. A doua cantarire: indepartezi cele 8kg de nisip de pe un platan, apoi din cele 6kg de nisip de pe celalalt platan redistribui pe ambele platane pana cand echilibrezi din nou balanta. Asta inseamna ca acum ai pe un platan 2kg (greutatea) + 1kg de nisip, iar pe celalalt platan, cele 3kg de nisip cerute.

1 + 3 = 4 kg de nisip -> unde sunt celelatle doua?

Desigur, raspunsul este corect, sunt doar 2 cantariri: la a doua cantarire, platanul de 2 kg si nisipul de 2 kg sunt pe un taler, iar pe celalalt sunt 4 kg.

~~~~~~~~~~

Admin:

Multumim, Alexis, pentru observatia corecta.

Raspunsul ramane ca se poate face cantarirea tot din doua masurari, dar la a doua masurare se procedeaza altfel:

2) Se indeparteaza cele 8 kilograme de pe un platan, precum si greutatea de 2 kg, apoi se iau cele 6 kilograme de pe celalat platan si se redistribuie pe platane astfel incat balanta sa fie in echilibru. Astfel avem doua cantitati de nisip de cate 3 kilograme.

pentru ca in fiecare gramada sunt 10 bile iar acolo sunt 13 gramezi ajungi la a -10 gramada si ei 10 bile la a 11 gramada nu ai de unde sa ei 11 bile ...caci gramada are 10

explicati-mi si mie dc la problema 4 nu e raspunsu 1. iei din prima gramada 1 din a doua 2 ... din a 13 a 13. dak e in prima vei avea cu 1 mai mult decat trebuie.... dak e in a doua cu 2 mai mult decat trebuie... si tot asa... la ultima cu 13 mai mult decat trebuie...pt cei care nau inteles cat trebuie este (1 + 2 + 3 ...+ 13) * 130

Urasc Testul ASTA!Am luat 0!!!!!!!!

vreau sa aflu raspunsurile corecte
multumesc

problema 7: solutie
impartim in 3 grupe a cate 4 fiecare
a) sunt egale => avem 4 bile ramase
impartim in 2 si 2, dar una din dreapata o inlocuim cu o bila neutra
aa) in stanga una e mai usoara sau cea neneutra din dreapta e mai grea ->
aaa) cantarim cele 2 din stanga intre ele: fie sunt egale: drapta mai grea, fie uan e neutra si una e usoara din stanga

b) una dintre cele 4 din stanga e mai usoara sau una dintre cele 4 din dreapta e mai grea
bb) scoatem 2 (1 din stanga, una din dreapta si inversam 1 din stanga cu 1 din dreapta), iar una din dreapta o inlocuim cu una neutra
bba) sunt egale: intre cele 3 scoase se afla (fie una dintre cele 2 din dreapta e mai grea, fie cea din stnaga e mai usoara --> se cantaresc cele din dreapta)
bbb) stanga < dreapta , adica cele intre cele 3 ramase pe pozitiile lor e cea bucuclasa (fie una din stanga e mai usoara, fie cea din dreapta e mai grea --> se cantaresc cele 2 din stanga)
bbc) stanga>dreapta (adica s-a schimba balanta fata de cantarirea anterioara) => cele 2 inversata fac dif (fie cea initial din stanga e mai usoara, fie cea initial din dreapta e mai grea; se cantereste una dintre ele cu una neutra)